Vieną kartą, kai Zigmas Bitinas dar buvo nenusakomai jauno amžiaus, bet jau stalą praaugęs, bet dar Mato Udrio nepažinojo, pas jį buvo užėjęs dar toks trečias jo draugelis, dabar jau niekas nebenustatys, katras. Tik aišku, kad tai nebuvo Rytis Kazimieras, nes jis Zigmo Bitino orbitoje atsirado vėliau. Tačiau stenkimės laikytis fabulos ir pasakoti dar ir kitas esmines tų žymių įvykių apystovas. Tos kitos apystovos buvo tokios, kad Zigmas Bitinas tikrai ten buvo, kad ta diena, kai jis ten buvo, buvo labai karšta, dar buvo atdaras langas ir didžiulis didžiulis iš protėvių paveldėtas didžiulis kvadratinis ąžuolinis stalas.
Staiga viskas suzvimbė ir į virtuvę įskrido didžiulis būrys dar kitaip tikrų bitinų ir sutūpė ant stalo, dar niekam nespėjus pagalvoti, ką čia toliau dėsis. Bitinai juk įvairius darbus dirba, labai pasistengus galima ir įkandžio prisiprašyti, jeigu imsi labai reikštis ar galūnėmis mojuoti.
Bet viskas buvo labai ramu, bitinai sutūpė ant stalo taip tvarkingai, lyg jie būtų ką nors girdėję apie romėnų legionus. Jie sutūpė taip tvarkingai – tą dieną pilnomis eilėmis po 45 bitinus kiekvienoje eilėje. Tas Zigmo draugas nežinojo, kad tie bitinai yra Zigmo draugai, galima būtų sakyti, kad jie yra Zigmo gamtagyviniai kolegos, trumpiau, zvimbuoliai. Kitą dieną visi tie patys Zigmo gamtagyviniai kolegos zvimbuoliai vėl atskrido, tik dabar jau sutūpė vėl pilnomis eilėmis po 36zvimbuolius kiekvienoje eilėje. Ir dar kažkada tie visi ir ne kiti skrajūnėliai zvimbuoliai vėl atskrido, jau trečią kartą ir vėl sutūpė pilnomis eilėmis – dabar po jau po 20.
Jeigu ten būtų buvęs Eimantas, tai jis kaip mat būtų sugalvojęs uždavinį, kiek mažiausiai zvimbuolių turi būti Zigmo Bitino gamtagyviniai kolegos, kad jie galėtų padaryti taip, kaip anas pulkelis kad padarė, būtent sutūpė pilnomis eilėmis ir po 45, ir po 36, ir net po 20 bitinų. Tai būtų Balbieriškio profiliuoto aritmetinio lopšelio lygio uždavinys ir jo atsakymas yra toks: kad mažiausias toks skaičius yra 180. Aišku, kad 180 tikrai rikiuojasi į 4 pilnas eiles po 45 bitinus, aišku, kad jis rikiuojasi ir į 5 pilnas eiles po 36 bitinus, ir jau visų aiškiausia yra tai, kad iš 180 bitinų puikiausiai išeina ir 9 pilnos eilės po 20 bitinėlių kiekvienoje. Kiek mažiau, nors irgi labai stipriai aišku, kad tas 180 yra ir pats mažiausias toks skaičius, kuris sugeba rikiuotis pilnomis eilėmis ir po 20, ir po 36, ir net po 45. Kad tuo galutinai įsitikintume, gana pavardinti pirmuosius 20-ties kartotinius ir palaukti tokio, kuris tuo pačiu metu yra ir dar ir 36 bei 45 kartotinis. 20-ties kartotiniai, rašant juos iš eilės, yra pats 20, toliau 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200 ir taip dar toliau. Matome, kad tie iki 180 einantieji ankstesnieji, arba mažesni 20 kartotiniai 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160 tam dalykui netinka, tai todėl 180 tikrai yra pats mažiausias iš visų tokių jų visų trijų kartotinių. Kiti tinkami Zigmo Bitino bitinų zvimbuolių skaičiai, kurie rikiuojasi pilnomis eilėmis ir po 20, ir po 36, ir po 45 jau būtų skaičiaus 180 kartotiniai – taigi 360, 540, 720, 900 ir taip dar toliau.
Taip Zigmas Bitinas nejučia pamėgo skaičių 180, o per jį – nepastebimai ir kitus aritmetinius menus – tik duok, būdavo, jam ką paspręsti. Labai greitai gyvus bitinus pakeitė ne tokie gyvi svareliai, bet aitra narstyti, rikiuoti ir perstatinėti viską, kas tik po ranka pakliūna, bet tik kad išliko, bet ir tapo visa nugalinčia aistra.
Skaitytojas be vargo atseks to pirmojo rimtesnio bitinų pasiskraidymo uždavinio pėdsakus, kad ir tokiame uždavinyje, kurį Zigmas vieną gražią dieną narstė su savo kaimynais, klasiokais ir bet kuriais kitais giliai ką nors suprantančiais, taigi dvasiškai jam labai artimais žmonėmis.
Štai to kito uždavinio sąlyga, kur skaitytojas vėl susitinka ir su skaičiumi 4, ir su skaičiumi 5, ir su skaičiumi 9.
Kaip juokavo Milda:
-Jeigu viskam būtų Kasparo valia, tai tas uždavinys skambėtų taip: „Aš turiu prisirinkęs oi didelį maišą svarelių, apie kuriuos niekam nieko nešneku, bet nors aš ir nieko niekam nesakau, bet uždavinių telepatė Aistė, manau, kad vis tiek žino, o jeigu ir nežino, tai nujaučia, kad aš, išpylęs ant stalo visą tą savo svarelių maišą, tikrai pajėgčiau juos visus suskirstyti ir į 4, ir į 5, ir net į 9 vienodo svorio krūveles“.
Atsirado abejojančių, ar tai tikrai taip, kilo kalbos, buvo pakviestas Justas su Ryčiu Kazimieru galutiniam išsiaiškinimui ir jie abu po 2 valandų ramių ir audringų kalbų su Kasparu grįžo linksėdami galvas, kad taip tikrai yra:
-Prisiekiame ir garantuojame, kad visi Kasparo maišo svareliai tikrai leidžiasi grupuojami į 4, ir į 5, ir į 9 vienodo svorio dalis.
Aurimas, kuris iki šiol tylėjo, ėmė ir pajuokavo:
– Tai gal tiek žinant jau galima būtų pasakyti, kiek apskritai svarelių yra tame išpampusiame Kasparo maiše.
Į tą klausimą atsiliepęs Jonas nežymiai patempta lūpa pasakė, jog aišku, kad ne. Nes tų svarelių gali būti vos ne kiek tik nori ir gal net galėtų būti beveik be galo daug – norts tiek joks maišas „nepatemps“.
Visi pasijuokė ir iš neturėjimo labai ką veikti ėmė spėlioti, kokie ten įdomesni svarelių rinkiniai galėtų būti tame kone bedugniame – bet visada profilaktiškai užrištame – atsargiojo Kasparo maiše.
Pirmiausiai apie Kasparo maišą pajuokavo Milda, kuri pasakė, kad gal jis ten turi 180 vieno cento monetų – ir tada viskas būtų labai gerai – nei tos 180 vienodų monetų nei sveria per daug, nei ten dar apie ką nors daugiau galvoti būtina, o ir susidėlioja jos labai gerai: išeina ir 4 vienodo svorio krūvelės po 45 monetas, ir 5 vienodo svorio krūvelės po 36 monetas, ir 9 vienodo svorio krūvelės imant po 20 tų vienacenčių monetų. Matas Udris nieko ir vėl nepasakė, nors ir vėl, kaip visada, su pirmaisiais visada viską suprato. O kone pirmas jis suprato tai, kad ne šiaip sau 180 yra bendras mažiausias ne tik skaičių 20, 36 ir 45, bet taip pat ir skaičių 4, 5 ir 9 kartotinis. Todėl jeigu Kasparo maiše tikrai būtų 180 vieno cento monetų, tai jis tikrai viską panorėjęs išdėliotų taip, kaip čia kad buvo išguldyta. Viskas tikrai taip, kaip reikia.
Staiga tada Tomas ėmė ir pasakė, kad na kad jau 180-ties vienodų svoriukų, tai to pas Kasparą tikrai nėra, nes ir monotonijos jis nemėgsta, ir, apskritai, kai jis vieną kartą ėjo pro Kasparą ir jo maišą, tai kažkaip rado progą tą jo maišą šiek tiek apčiupinėti, liaudiškai sakant, pamaigyti. Apčiupinėjęs pamaigęs jis suprato, kad svareliai Kasparo maiše tikrai nėra visi vienodi. Tai išgirdęs Aurimas su Aiste pasakė, kad tada tų svarelių, matyt, yra mažiau. Ir turbūt gerokai mažiau.
Tuojau pat buvo pasiūlytas gerokai mažesnio svarelių skaičiaus rinkinys, susidedantis jau tik iš 35 svarelių, sveriančių po 5 gramus ir dar 5 svarelių, sveriančių tik po 1 gramą. Tada viskas gerai susidėlioja ir į 9 dalis po 20, ir į 5 dalis po 36 (tada reikia imti 5 vienodus rinkinius, kurių kiekviename yra 7 svareliai po 5 gramus ir dar vienas svarelis po 1 gramą. Susidėlioja viskas be vargo ir į 4 vienodo svorio dalis po 45 gramus kiekvienoje dalyje.
Sulig tuo žingsniu jie iš karto svarelių skaičių sumažino labai ženkliai: nuo pradinių 180 iki 40-ties, vadinasi, labai ženkliai. Zigmas Bitinas, iš kurio vaikystės ir kilo šis mūsų uždavinys, kaip mat įrodė, kaip giliai ir jis yra įmirkęs į tos rūšies uždavinius: visi nustėro, kai jis mestelėjo, kad jis panorėjęs mokėtų išsisukti ir su 16 svarelių. Jie su nepatikliais veidais nejučia atsigręžė į jį, o jis, priėjęs prie lentos, lyg niekur nieko, užrašė:
4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 16, 16, 16, 16, 20, 20, 20, 20.
Eimantas matė, kad čia viskas gerai, nes jei reikės 9 „komplektų“ po 20, tai tada viskas galės būti taip:
5 + 5 + 5 + 5, 4 + 16, 4 + 16, 4 + 16, 4+16, 20, 20, 20, 20.
Kai reikės 5 komplektų po 36, tai tada bus galima rodyti tokius derinukus:
4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5, 16 + 20, 16 + 20, 16 + 20.
Na, o kai paprašys 4 komplektų po 45, tai tada bus rodoma tokie „išraitymai“
4 + 5 + 16 + 20, 4 + 5 + 16 + 20, 4 + 5 + 16 + 20, 4 + 5 + 16 + 20.
Didelei nuostabai būtų galima pridurti, kad jie įsismaginę rikiuoti po truputėlį ėmė pamiršti pradinį Kasparo maišą, nes visą jų mokslinį smalsumą galutinai patraukė gerokai įdomesnis jau grynai teorinis klausimas:
kiek mažiausiai svarelių reikia turėti, kad būtų galima apskritai įvykdyti tą užduotį.
Jie ir nepastebėjo (ir nesistebėjo), kaip įėjusi mokytoja pasidžiaugė:
-Oi, kaip gerai, kad Jūs, kaip visada, patys suradote tą patį įdomiausią klausimą, kylantį iš Kasparo maišo gelmių esybės:
Kiek mažiausiai svarelių galėtų būti Kasparo maiše, kad vienaip skirstant tuos pačius svarelius būtų galima sudaryti 4 vienodo svorio rinkinius, dar kitaip skirstant – ir 5, o dar kitaip, dabar jau trečiaip, – net ir 9 vienodo svorio rinkinius.
-Oi, jaučia mano širdis, kad mes čia be kokių nors subtilių samprotavimų, tų vadinamųjų teorinių įrodinėjimų, tikrai neišsiversime, neišgyvensime, vienu žodžiu, niekaip neišsisuksime – pasakė Milda. Juk mums tikrai reikės kažkada imti įrodinėti, kad su mažiau svarelių – tai nė pro kur!
Taigi – dar kartą – klausiame, kiek mažiausiai svarelių gali būti tame, jau pusiau legendiniame, Kasparo maiše?

Užduotis skiriama pirmiausiai vyresniųjų klasių moksleiviams.

Duotas lietuviškas tekstas, užrašytas be tarpų ir kablelių:

VAIKELIAIVAIKELIAISLIDŪSGRAŽUOLIŲKELIAI

Suskirstykite šį tekstą žodžiais, kad išeitų prasmingas lietuviškas sakinys.
Keliais būdais įmanoma tai padaryti?
(A) to padaryti neįmanoma
(B) tai galima padaryti vieninteliu būdu
(C) tai galima atlikti dviem būdais
(D) tai galima atlikti trim būdais
(E) tai galima atlikti bent keturiais būdais

Pakomentuokite savo pasirinkimą.

Šiandien jau ne daug kas iki galo besupranta, ant ko iš tikrųjų laikosi pasaulis. Esama daugybės, net ir gerokai praprususių žmonių, kurie rimtais veidais tvirtina, kad pasaulis būtinai būsiąs amžinai. O iš tikrųjų ta pasaulio amžinystė atsiremia štai į ką – tik paklausykite!
Paskutinę kiekvieno 100-mečio naktį Centrinėje pasaulio arenoje kvadratu tyliai oriai tvarkingon rikiuotėn stoja pirmoji skaičių šimtinė.
  1    2   3   4    5   6   7    8   9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Jie stovi ir laukia.
Jie žino, kad vidurnakčiui išmušus iš begalybės nepastebimai atsiris kamuolinis skaitmeninis žaibas ir trenks į lygiai 10 iš jų – į kuriuos trenks, nežinia, tik žinia, kad įtrenktieji nieko nematys, nesuvoks, nesupras. Liks dar 90 skaičių, sąmonės nepraradusių. Jeigu tarp tų 90 sąmonės nepraradusių skaičių rasis 10 tokių, kurie sudaro aritmetinę progresiją, tai praradę sąmonę skaičiai iš karto atsigaus ir pasaulis galės ramiai gyventi dar 100 metų. Tačiau jei tokių 10 skaičių, sudarančių aritmetinę progresiją, tarp tų 90-ties sąmonės nepraradusių skaičių neatsirastų, tada jau nebeatsigautų toji 10-tis, o kartu su tuo įvyktų ir pasaulio pabaiga.
Kaip čia yra iš tikrųjų?
Neveidmainiaudami visu rimtumu klauskime to, kas visus labiau jaudina ir veža: ar egzistuos, ar ne mūs pasaulis amžinai?
Kitais žodžiais, mums rūpi, ar iš pirmųjų 100 skaičių bet kaip išbraukus 10 skaičių tarp likusių 90-ties visada rasis 10 tokių, kurie sudaro aritmetinę progresiją.

Kalbų po to būta pačių įvairiausių, svarstymų, pamąstymų ir vertinimų – irgi. Ne mūsų reikalas apskritai kalbėti apie tą romantišką istoriją ar rašyti jos dalyviams pažymius, juolab kad žemiškuose reikaluose retai sutinkame šimtaprocentinių teisuolių. Pretekstas mums įsikišti būtų nebent tai, kad tos istorijos šerdį sudaro vienas visai neblogas aritmetikos uždavinys.

Galutinę nuomonę ir apie tą uždavinį, ir apie tą istoriją paliekame Jūsų protams ir širdims. O mes tik pakartotume – beveik tiksliai – ir net kartu su neišgalvotu klasiku: “Jei Tau koks reiškinys patinka, Tu jį iš karto pavaizduok, Su mūza savo dar palygink ir į redakciją paduok” Na, kur jau čia mums, paprastiems žmonėms “iki mūzų”, nors gražių panelių aplinkui tikrai nestinga. Sutiksite jų ir šioje istorijoje.

Dauguma šaltinių dar mini toje istorijoje dalyvavus tikrus neišgalvotus personažus, arba Liną Pugžlį, Karolį Vencevičių ir vieną iš daugybės stovykloje buvusių Žilinskų. Ne visų jų vaidmuo buvo vienodai idealus, gal ir jiems kada būdavo nelengva, tačiau visi pasakotojai juos apskritai iškelia kiek aukščiau negu kitus – na, gal jiems tiesiog geriau susiklostė aplinkybės. Sakytinė tradicija prie tų pačių nepriekaištingiausių paprastai ir priskiria vieną kurį iš tų Žilinskų. Nenutylėsime ir to, kad toji istorija – ir dar su konkrečiais vardais – buvo iškilusi ir tą atmintiną paskutinį sekmadienį, tą dar dorai nepraaušusį ankstyvą rytmetį, kai buvo net neaišku, ar saulė jau buvo patekėjusi, ar dar tik betekanti. Štai ta istorija. Dar kartą pabrėžiame, kad už žmogiškąją tiesą jokios galutinės atsakomybės neprisiimame, juolab kad jau vien tik aritmetinės tiesos paieškų reikalai paprastai vargu ar kada bepasirodys.

Mokytoja Eglė Dobilaitė ir trys jos aritmetiniai asistentai Kartą kažkur toli toli, o gal net ir visai čia pat buvo nuostabi aritmetikos mokytoja Eglė Dobilaitė. Ir nors ji per pamokas kalbėdavo labai tyliai, tačiau garsas apie jos pedagoginį talentą buvo pasklidęs per visą kraštą, buvo persiritęs per Toliejas ir Dubysas giliausias – iki pat Vilniaus aukštumų. Ir visi sakydavo, kad mokytoja Eglė ir pušies kankorėžį išmokytų be klaidų skaičius sudėti. Likimas pasitvarkė taip, kad toji lemtingoji aritmetikos pamoka vyko kaip kartas toje klasėje, kur mokėsi Pugžlys, Vencevičius ir, žinoma, vienas iš Žilinskų. Mokytoja Eglė, dar nežinodama, į ką viskas išvirs, užrašė lentoje 3 keturženklius skaičius ir pakvietė Pugžlį juos sudėti:

Kokia turėjo būti jos nuostaba, kai Pugžlys sudėjęs kažkodėl gavo ne tiek, kiek mokytoja žinojo turėsiant gautis – toji suma turėjo būti keturženklis skaičius, o jis apačioje parašė

o tai jau niekaip ne 4-ženklis skaičius.

Dar tebesistebėdama tuo, kas čia darosi, ji prisiminė, kad Pugžlys serga labai paplitusiu tikrovės stiprinimu, arba negalavimu, kuris pasireiškia tuo, kad visur, kur jam pasitaikydavo 2, jis galvodavo, kad tai 3 – ir ne kitaip! Tokia tad buvo jo bėda, o šiaip visa jis darydavo be priekaištų – na, kaip Žilinskas – be klaidų. Norėdama šventais pedagoginiais tikslais išnaudoti augančią aritmetinę įtampą mokytoja Eglė tai pačiai tų 3-jų keturženklių skaičių sumai skaičiuoti pakvietė Vencevičių, nes ji atsiminė, kad ir jis turi vienintelę, nors ir kitokią, gal net rimtesnę silpną vietą – kur visi mato 4, ten jam, nors tu kuolu per galvą, tvirtai regisi 7 – o toliau kitką skaičiuoja taip, kad geriau nebūna. Nenuostabu, kad Vencevičius dėliodamas tuos pačius tris 4-ženklius skaičius gavo dar daugiau, nes jis jau užrašė, kad toji suma yra

Mokytoja Eglė iš bet ko mokėdavo padaryti uždavinį. O jau iš tokių dviejų nekasdienių dalykų ji kaip mat supynė uždavinį – ir labai gražų. Mes tikrai manome, kad Eglė ir iš kirvio sriubą išpirktų. Štai ir dabar ji tarė tam vienam iš tų Žilinskų:

– Štai tu, kuris viską matei ir girdėjai, prašau sudėk teisingai tuos skaičius, nežiūrėdamas į juos. Tu toks gabus, kad Tau net nereikia žinoti, kokius tris skaičius Tu čia dėlioji.

Pamąstė Žilinskas valandėlę menką, iš nuostabos net kaktą pasikrapštė ir, žinoma, užrašė teisingą atsakymą. Jau esame sakę, kad teisingas atsakymas, mokytojos Eglės žodžiais tariant, turėtų būti 4-ženklis skaičius. Ir – kartojame tai su pasigėrėjimu, Žilinskas teisingai užrašė tą 4-ženklį skaičių, kuris yra tų trijų 4-ženklių skaičių suma. O tiems, kurie pradeda skaityti uždavinius nuo pabaigos – o tai yra gudru – kursyvu pakartosime uždavinio sąlygą be jokių vardų ir kitų istorinių subtilybių:

Mokytoja liepė sudėti tris keturženklius skaičius:

Pirmasis dėjikas, kuris dėliodamas visus tų trijų dėmenų dvejetus pakeitė trejetais, o kitką atliko taip, kad teisingiau nebūna, sudėjęs gavo 10985. Antrasis dėjikas, kuris irgi viską daro gerai, tik dėliodamas visuose trijuose pradiniuose dėmenyse (bet ne atsakyme) esančius ketvertus pakeitė septynetais, sudėjęs gavo 11667. Koks skaičius turėjo gautis iš tikrųjų?

Arba dar kartą – kokį skaičių užrašė Žilinskas? (Jis tikrai jį užrašė teisingai, nes mokytoja Eglė šypsojosi taip švelniai ir džiugiai, kaip tesišypso mokytojai tik tada, kai mokiniai rašo teisingus atsakymus.)

Ir aš ten buvau, kavą arbatą gėriau ir dar Jums apie tai papasakoti suspėjau.