Tag: matematika

MATEMATINIS KONKURSAS MARIJAMPOLĖJE IR NE TIK MATEMATINIS, BET IR LITERATŪRINIS GALINĖJIMASIS RASEINIUOSE

~ Romualdas Kašuba ~ Leave a comment

Pastaruoju laiku, jau antri metai tenka prikišti nagus prie Marijampolės Rygiškių Jono gimnazijoje tikriausiai jau ilgus metus, nors net klausiamas nepasakyčiau, kiek jau metų vykstančios Sūduvos krašto gimnazijų olimpiados. Dėmesį į tai, kad ir ten kunkuliuoja matematikos konkurso verpetai, atkreipė Vilniaus Universiteto Ekonomikos fakulteto prodekanas (ir to fakulteto studentų numylėtinis) docentas Jonas Martinavičius.

Iš pradžių pagalvojau, gal jis pats iš Marijampolės, ar bent jau garantuotas suvalkietis. Na, o jei ne suvalkietis, tai gal nors zanavykas, kokiu ir aš norėčiau būti. Ne, prisiminiau dar ir pats, kad ne. Jonas Martinavičius nėra suvalkietis, o yra tikras tvirtas žemaitis iš Tauragės. Kaip tikras žemaitis, kuris viską atitinkamai daro, tai jis taip ir konkursą Marijampolėje – tikrai ir tvirtai rėmė. Skaitytojas, kuris pažįsta gyvenimą, dabar imtų stebėtis autoriaus naivumu ir imtų sau pirmiausiai patyliukais galvoti: žinom, kaip būna, žinom, kaip būna, o būna taip. Už tikrą vyrą žemaitį būna kartais dar tikresnė žmona suvalkietė. Ir aš taip tris minutes galvojau ir net jo paties esu klausęs, gal tikrai taip? Prodekanas Jonas sakė, kad ne.

Teko patikėti. Baigėsi visi paprasčiausi aiškinimai. Liko pagarba dar vieną gražų darbą ant savo pečių užsivertusiam žmogui. O kadangi jis taip tvirtai rėmė ir dar ir manęs šiek tiek pagelbėti paprašė, tai po tų visų, skaitytojui probėgomis papasakotų dalykų, jau nebuvo kaip atsisakyti. Taip ir aš ėmiausi prie tų reikalų prisidėti. Beprisidėjinėdamas surašiau uždavinių sąlygas taip truputį suvalkietiška dvasia, kurią aš šiek tiek labai gerai pažįstu.

Tegu skaitytojo nestebima žodžiai “šiek tiek labai gerai” – esu kuklus nuo pirmosios klyksmo Žemėje dienos. Mūsų ištikimas olimpiadų bendražygis Aivaras Novikas (kaip visada) pažiūrėjo, kad tose sąlygose neliktų kokių baisių riktų ir taip pernai pirmą kartą pasiuntėm marijampoliškiams marijampolietiškai aranžuotas sąlygas. Panašu, kad jiems patiko, nes ir šiais metais to paties paprašė. Taip sudarėm ir šiais metais. Jeigu dar ir kitais metais paprašys, stengsimės ir vėl. Ir vis svajojame, gal kada nors ir patiems pavyks į tą Marijampolę nukakti. Ne juokas į Suvalkijos sostinę važiuoti. Na, bet ir mes patys juk kažkiek iš sostinės.

Dabar dar apie varžytuves Raseiniuose, su kuriais bendradarbiaujame jau tų laikų, kai kai kurie dabartiniai ąžuolai galiūnai dar buvo tik bedygstą. Ir kai kurie ąžuolai tada nelabai tedrįsdavo šnarėti. Taigi konkursas Marijampolėje vyko gruodžio 10 dieną, o už 5 dienų jau turėjo vykti ir konkursas Raseiniuose (http://www.zemrsn.lt/renginiai54.cfm), kuris turi, kad ir ilgą, bet vis tiek labai mums gražų pavadinimą, kurioje yra minimas tas dabartinis iškilmingas Kalėdinis metų laikas ir to krašto sūnus profesorius Jonas Kubilius.

Olimpiada kasmet vyksta nuo 1999 metų. Ir visais laikais Raseinių krašto olimpiadų uždaviniai buvo kartais daugiau, kartais mažiau, bet visada kažkiek “raseinizuoti”. Didelė papildoma naujiena paskutiniųjų metų varžytuvėse buvo ta, kad pasibaigus matematikos uždavinių sprendimui, kiekviena komanda sukaupusi visas likusias jėgas dar paskirdavo po žmogų varžytis poezijos rašymo konkurse, kur nurodyta tema per kelias minutes reikėdavo surašyti po kelias eiliuotas eilutes. Parašius belikdavo jas perskaityti ir kitos temos griebtis.

Autoritetinga komisija tuos rašytojų ką tik gyveniman paleistus dvieilius, trieilius ir ketureilius vertino penkių balų sistema. Konkursui pasibaigus kaip mat ir nugalėtojai būdavo suskaičiuojami. Net toks solidus žmogus kaip Antanas Apynis iš Vilniaus Universiteto, kuris jau antras dešimtmetis vadovauja Lietuvos neakivaizdinei Jaunųjų matematikų mokyklai ir kuris, kaip rimtas žmogus, patikėkite, nėra labai linkęs švaistytis pagyrimais, ir jis šiais metais sakė, kad tie konkursai irgi galvą miklina. Jis daugiau nieko labai nesakė, bet mes pridėsime, jog nujaučiame, kad miklina tikrai, matyt, neblogiau kaip matematiniai uždaviniai, jeigu jau Antanas Apynis apie tai užsiminė.

Prisipažinsime, kad mes su Vilniaus Universiteto doktorantu Aivaru Noviku tokius renginius darome jau nebe labai atsimename, kiek laiko – iš akies imant, tikrai ne mažiau kaip penkeri metai. Dar niekas mums jais nesiskundė, kad jie netikę, nors mes juos daug kartų ir daug kur darėme – ir vasaromis Toliejoje per tarptautines “Kengūros” stovyklas, ir Vilniaus Universitete per pavasariais vykstančias studentų dienas.

Varžytuvėse Raseiniuose talkino ir legendinis Pasaulinių matematikos olimpiadų dalyvis (ne juokas – penki dalyvavimai dar tebesėdint Kretingos Pabrėžos gimnazijos suole). Būtų žmogiškai nepadoru ir istoriškai neteisinga nors kiek nepaminėti gerųjų Raseinių varžytuvių fėjų – tų didžiųjų varžytuvių organizatorių ir puoselėtojų – mokytojos Salomėjos Brazinskaitės ir direktorės Aldonos Mankauskienės. Pasižiūrėjus, kaip Jos šypsosi, Jums gali pasirodyti, jog gražūs dalykai Pasaulyje vyksta savaime.

Ir dar. Kol Jūs nematėte, kaip Jos šypsosi, tai dar oi! ne viską Žemaitijoje matėte. Nuvažiuokite ir pamatysite.

XXV– KAIP IR JUBILIEJINEI – OLIMPIADAI PROFESORIAUS JONO KUBILIAUS ĮSTEIGTAI TAUREI LAIMĖTI PASIBAIGUS BEI DAR TREJOMS VARŽYTUVĖMS NUGRIAUDĖJUS

~ Romualdas Kašuba ~ Leave a comment

Buvo kaip visada – kaip patį pirmąjį kartą. Susirinko komandos, kiekvienoje komandoje po 5 žmones, toji kiekviena komanda 4 valandas sprendė 20 uždavinių, pateikdama po vieną kiekvieno uždavinio sprendimą.

Žiūrėdamas tik į sprendimus, jeigu nekreiptum dėmesio į skirtingą rašyseną ir nieko daugiau nežinotum, tai net ir nesuprastum, kad čia jau komandinė olimpiada, pagalvotum gal, kad čia tik vieno žmogaus spręsta – tik kad uždavinių daug. Ir dar. Kiekvienas rimtas dalykas, jei jis tikrai yra rimtas, visada reiškia daugiau negu jis reiškia – Maironis Lietuvoje daugiau negu poetas. Nemanau, kad kas užpyktų dėl tokio gražaus sugretinimo, laikydamas jį per žvaliu. Kol niekas nepradėjo protestuoti, pasakokime toliau, ką mes turėjome galvoje, ir tikrai niekas jau nebesistebės.

Komandinė olimpiada yra yra daugiau negu komandinė Olimpiada jau todėl, kad jau 12 kartą kartu su ja vyko ir jau 12-tosios – nepasakytum, kad Tuzinosios – bet mėginkim – Individualiosios Lietuvos 5-6 ir atskirai 7-8 klasių mokinių varžytuvės. Ir tai dar ne viskas. Kitą dieną, kai jau buvo suvesti komandinės olimpiados rezultatai, nugriaudėjo fanfaros ir buvo apdovanoti nugalėtojai, trys pačios stipriausios komandos jau nebe pirmąjį kartą išaiškino Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės taurės laimėtoją. Trys pačios stipriausios komandos rinkosi jau nebe pirmąjį, nes jau antrąjį kartą ir tai buvo Minsko, Kauno ir Vilniaus komandos.

Komandinę olimpiadą laimėjo pirmoji Vilniaus licėjaus komanda, kurioje dalyvavo tokie uždavinių sprendimo liūtai kaip Linas Klimavičius ir liūtė Elena Dulskytė. Antrąsias vietas pasidalijo mūsų ilgamečiai svečiai ir bičiuliai minskiečiai ir antroji licėjaus komanda vedama trečiojo licėjaus liūto Edvardo Poliakovo. Trečiąją vietą užėmė pirmoji Kauno technologijos universiteto gimnazijos komanda, kurioje pirmaisiais smuikais griežė, spėtume, kad Simonas Mamaitis ir Aidas Kilda.

Įdomūs dalykai dėjosi – tikrai gerokai įdomesni kaip kadais – dėjosi iš karto žemiau tų vietų, nes su prizinėmis vietomis, na, čia daugmaž viskas aišku: tvarkos dvi: viena Licėjus, toliau KTU gimnazija, kaip šiais metais, kita – atvirkščia eile. Iš karto po prizininkų – šiais metais abiejų Licėjaus komandų – rikiavosi Vilniaus komanda, kurioje pirmaisiais smuikais griežė dvi gražios panelės – Ugnė Gudžinskaitė ir Ana Daglis. Toliau už jų ėjo Kupiškis, kur jau irgi darbo per Rokundos mokyklą yra įdėjęs nenuilstantis nenustygstantis Lietuvos jaunųjų matematikų mokyklos vadovas Šiaurės Lietuvos matematikos puoselėtojas docentas Antanas Apynis, o jau pačioje Kupiškio komandoje, pačių kupiškiečių apsuptyje kaip liūtas uždavinius draskė Benas Bačanskas.

Po jų buvo visada neblogai pasirodanti garsiojo Vytauto Narmonto Kretinga ir Kauno Saulės gimnazija, kurią į priekį vedė naujai atsiskleidęs talentas – Paulius Virbalas. Skaitytojas laisvai galėtų pagalvoti, kad čia viskas surašyta iš mandagumo, kad paguostume prizinių vietų neužėmusias komandas. Skaitytojas laisvai galėtų taip galvoti, nes nuo mandagumo niekas nemirė ir, matyt, vien nuo jo dar negreitai ir mirs, o mes tik pridurtume, kad tos išvardintos komandos ir dar Šiaulių miesto komanda aplenkė pačios KTU gimnazijos antrąją komandą.

Kartu su Komandine olimpiada, kaip jau buvo užsiminta, įvyko ir 12-toji jaunesniųjų klasių mokinių olimpiada, kaip visada pastaraisiais laikais – dviem grupėmis. Į šią savotišką treniruoklių salę kiekviena komanda gali atsivežti po 2 mokinius kiekvienoje grupėje, na, o vilniečiams, kaip čia pat gyvenantiems, pagal nusistovėjusią tradiciją, vietų būdavo skiriama daugiau – kaip gi čia nepriimsi žmogaus, gyvenančio čia pat už fakulteto slenksčio.

Su tuo didesniu priėmimu tų, kurie gyvena 5 metrai nuo fakulteto, taip pat kyla malonių problemų, kurių pagrindinis kėlėjas yra mokytojas ir gabių vaikų treneris Juška iš Jėzuitų gimnazijos, kuris galėtų atvesti tiek gerų sprendikų, kad mums tuoj į didžiąją auditoriją nebetilps. Šių metų uždavinių sąlygos buvo nuspalvintos rytietiškais motyvais – uždaviniuose buvo galima sutikti ir Šecherezadą, ir Sinbadą Jūreivį ir net pačią Jūrų valdonę.

Užsiminę apie legendinius, pakalbėkime ir apie realius didvyrius – tų varžytuvių pirmuosius. Tarp 5-6 klasių sprendėjų pats pirmasis buvo Domantas Tamašauskas iš Marijampolės marijonų gimnazijos – tetrūksta dar, kad ir pats būtų Marijonas. Domantas išsprendė daugiau kaip 4 iš 5 pasiūlytų uždavinių. Per plauką nuo jo atsiliko Kasparas Ragaišis iš Vilniaus jėzuitų gimnazijos ir Jonas Pukšta iš Vilniaus šv. Kristoforo gimnazijos. Dvi trečiąsias vietas, atsilikę per dar mažesnį plaukelį, užėmė šiaulietis Linas Labanauskas ir Justas Tamulis iš Vilniaus „Žemynos“ pagrindinės mokyklos. Dar 4 kovotojai – Artūras Jocas, Karolis Trakas, Kristijonas Vėlyvis bei Kajus Panevėžys pelnė po pagyrimo raštą.

Kiek kuklesnė situacija bendro sukauptų taškų požiūriu buvo tarp septintokų-aštuntokų, kur ir uždaviniai buvo gerokai smagesni. Čia pirmosios vietos buvo paskirtos iš karto 4 narsuoliams – Emilijui Stankui iš Klaipėdos Gedminų pagrindinės mokyklos, Povilui Šlekiui iš Vilniaus jėzuitų gimnazijos, Baltrui Šivickiui iš Vilniaus “Ryto” vidurinės bei Adomui Juškai – vėl iš Jėzuitų! Antrąsias vietas pelnė Domantas Jadenkus iš Grigiškių, Paulius Bareika iš Širvintų ir Ignas Kriaučiūnas – iš Marijampolės Marijonų. Tretieji buvo Kristupas Rudzkis bei Kostas Strielkūnas – abu vėl Vilniaus jėzuitai ir Marius Bytautas iš Kauno. Pagirti buvo Adriana-Otilija Vilkaitė, Arnas Diktanas, Gytis Barkauskas ir Kiril Snežko.

Kitą dieną 3 komandos – Minsko, Vilniaus ir Kauno – jau antrąjį kartą sprendė Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės garbei po 5 uždavinius, kurie, atvirai sakant, buvo kiek sunkėlesni, laiko spręsti buvo 4 valandos. Ir čia – kaip didžiajame sporte – paaiškėjo, kad vakar tu galbūt buvai stipresnis, na, o šiandien gal jau stipresnis būsiu aš. Lietuvos Didžiosios Kunigaikštystės garbės varžybas laimėjo Minsko komanda, kurios atstovai užėmė dvi pirmas vietas, o trečiąja jie pasidalino su mūsų stipriausiuoju sprendėju Linu Klimavičiumi.

Iš karto už jų rikiavosi dvi panelės – daug kartų pasižymėjusi, jau kone legendinė Elena Dulskytė ir šaunioji viešnia iš Minsko Anastasija Tanana. Lietuvos komanda neturi kada labai ilsėtis – lapkričio mėnesį laukia Islandija su „Baltijos kelio“ komandine olimpiada.

11th Lithuanian Mathematics Olympiad for Youngsters

~ Romualdas Kašuba ~ 4 Comments

Grades 5 and 6
Vilnius University, Faculty of Mathematics and Informatics
September the 12th 2009

1. Every year Geppetto gives pocket-money his beloved patient and modest Pinocchio on his birthday. The sum of that support is established according to the unshakable rules and, counting in humble cents, is always equal to the product of the ages of Pinocchio and his noblest patron himself. This year Pinocchio got 7.81 Euro. What amount of money did Pinocchio get in the previous year?

2. On their infrequent leisure time the immortal Bremen four – Donkey, Dog, Cat and Rooster divided the usual chess board into four equal parts and started examining one of these parts containing 16 fields (8 white and 8 black fields, colored in the usual chess order), i.e. a 4 x 4 square.
The zigzag-form path consisting of 4 white fields, one from each row, such that any two neighbouring fields share only a common corner was called by them a Bremen path. The musicians immediately started furious discussions about how many Bremen paths there are in that small 4 x 4 square. Patron of the Bremen city Roland gave evidence that they sat late and couldn‘t come to the common conclusion how many Bremen paths there are in that small 4 x 4 square.
Could you explain in an understandable way to that immortal Bremen four how many Bremen paths could be detected in that (rather small) 4 x 4 square?

Town musicians of Bremen
3. Nowadays only very few persons remember that before gaining the unbelievable popularity the members of the immortal Bremen four earned their bread working as unqualified city guards. The patron of the City Roland witnessed strongly that it was also their duty every night before the day-break to creep along the wall around the whole Bremen city checking whether everything is still running well. The very same Roland claims that he established for sure that the Donkey made twice as many walks around the city as the Cat did, three times as many as the Dog did and even four times as many as the Rooster did. Altogether they all made exactly 400 walks around the Bremen city. How many walks around the Bremen city did the Donkey make?

4. Yesterday the Cup of Nations (Bremenland soccer tournament) in which each team played exactly once against every other team came to the end. The matches were played according to the rules which generated a healthy hazard: a team was awarded even 3 points for a win, 1 point for a tie and no points for a loss. After all matches were over it was mentioned that all teams together were rewarded the total of 21 points. The troubadour of the Cup maestro Rooster spent the whole 3 days in the deepest confidence that knowing only what was told right now it is still impossible neither to conclude
(A) how many teams participated in that Cup of Nations,
nor to establish
(B) how many points each team was awarded (according to its final classification).
Was the troubadour of that Cup Rooster right in his belief?
(A) How many teams participated in that Cup of Nations?
(B) How many points was each team awarded?

5. On another honorable occasion the members of the immortal four during the camping near their beloved city Bremen saw 7 regions formed by 3 overlapping circles. They came to an idea to use 7 numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 to rule these seven regions – one number for each region. They decided at once that the central region – the one belonging to all the 3 circles – should always be ruled by number 6 as the number having most divisors. They also expected that it is possible to nominate the numbers for ruling the regions in a democratic way, that is in such a way that in any of these 3 circles the sum all integers ruling regions contained in that circle is the same for each circle (and equals some number T).
All this would have been very nice and challenging but they could in no way find an example which would demonstrate them that such democratic ruling of regions is possible to establish. Help them in:
(A) demonstrating that such democratic ruling of regions is possible to establish; present them the corresponding example and, if necessary, also tell them even the corresponding value of T, the same for all 3 circles;
(B) finding all possible values of that sum T, equal for all three circles – each one, naturally, with its own example of democratic ruling.

Grades 7 and 8
Vilnius University, Faculty of Mathematics and Informatics
September the 12th 2009

1. The immortal Bremen four – Donkey, Dog, Cat and Rooster – after they became the absolute classics of the hard beat music could no more perform all together. On very rare occasions they performed being three, and that was taken as a sign of an absolute respect, and such performances and only these were called the Bremen ecstasies. When in recent summer in Bremen the World Session of Beautiful Young Math Minds took place then, to honor it, the immortal four had given several exceptional Bremen ecstasies. The soul of the city Roland who naturally took part in all these Bremen ecstasies certified that maestro Rooster participated more times than any other of them, that is, 8 times, and maestro Donkey participated less than any other of them – 5 times. The soul of the city Roland without saying any word made them feel that any clever mind which is able to concentrate at least a bit could really understand how many Bremen ecstasies were provided by the members of immortal Bremen four.
Are you also able to explain how many Bremen ecstasies were given in Bremen at the World Session of the Beautiful Young Math Minds by the members of that immortal Bremen four?
Bremen Roland

2. To the top league of soccer in Bremenland only 5 teams are allowed. In the recent tournament each team played exactly once against each of the other four teams. Each team received 3 points for a match it won, one point for a match it drew and no points for a match it lost. At the end of the competition the points were: Prairie’s Lions 10 points, Desert’s Bison 9 points, Alpine Grandsons 4 points, Peaceful Bulldogs 3 points, and Windmills 1 point.
The voice of the league maestro Rooster claimed that even knowing only as much as that it is already possible to make many fundamental insights and not only
(A) to state precisely how many matches resulted in a draw,
but also even to state
(B) what were the results of Alpine Grandsons’ matches against the other four teams.
We believe for sure that you having some time are also able to understand it and explain it in a proper way.

3. On silent winter nights when the last lonely passengers disappear from the streets the eternal patron of the Bremen city Roland is climbing down from his monument and together with maestro Cat are arranging, as they call it, the silent Bremen-17 game. For it 7 cards with numbers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 are necessary (with every number written on exactly one card). Roland and maestro Cat are taking in turn one card each; Roland usually starts first. The player who is able using his cards to present a number divisible by 17 earlier than his opponent is declared to be a winner. On the news portal ihaha.com there were furious quarrels concerning the fact whether any of them is able to take the cards in such a way that he is always able to win independently what his partner undertakes.
There appeared one wiseacre whose name was Rex who kept claiming that
(A) if any of them is really able to win independently of what his partner is ever able to undertake then that person is the person who starts first.
Is the wiseacre Rex right? Explain your answer.
(B) So how is that: are indeed any of them able to win independently of what his partner is ever able to undertake?
Explain your answer.

4. Maestro Cat eagerly intends to solve the cross-number. The solution to each clue of this cross-number is a two-digit number. Maestro Cat remembers too well that none of these numbers begins with zero. He is ready to complete the cross-number, stating the order in which he solved the clues and explaining why there is only one possibility at each stage. Can you help him?
 
Clues horizontally: 1. Multiple of 3. 3. Three times a prime
Clues vertically: 1. Multiple of 25. 2. Square number.

5. Starting with an equilateral triangle ABC with length of side 2 meters, the hidden geometer maestro Rex on the three its sides AB, BC and CA constructed three outward-pointed squares ABPQ, BCTU, CARS. Maestro Donkey who just arrived was kept repeating some irresponsible statements that it is not maestro Rex who could today establish the area of the hexagon PQRSTU. Maestro Rooster who heard this tried eagerly to help Rex with that area and acting together they both in two hours were able to get the right answer.
What is the area of the hexagon PQRSTU?

Глядите в оба

~ Romualdas Kašuba ~ Leave a comment

Какое бы число трехзначное ни взять,
Немудрено цифирь его слагать
И сыном сумму эту в миг назвать.
И ясно внука как рожать.
И если вдруг настигнет нас неведомая скука
И станем наибольшего мы внука
Всех особей трехзначных тех искать.
Вы не могли б его нам сразу показать?

Baltarusiško intelektualinio folkloro motyvais

~ Romualdas Kašuba ~ 1 Comment

Esu gražiai aš iš trijų sveikųjų skaičių teigiamų sudėtas,
O panorėjęs atsirasčiau iš kitų trijų skirtingų, teigiamų, sveikų.
O jūs bent mano vardą švelnų paminėkit,
Juk aš pats pirmas (bernas) tarp visų tokių.

По мотивам белорусского интеллектуального фольклора

Из натуральных, разных и троих слагаемых я вам предстану,
Понравившись могу возникнуть из совсем других различных и троих.
Вы можете назвать меня, я скромный малый,
Короче, самый первый среди них.

On the motifs of the Byelorussian intellectual folklore

You get me adding three, completely different and natural components.
If summands’re bad – displace them all but sum the same must be!
You proudly may pronounce my name avoiding any bitter comments:
For I’m the very first among all such – and this is great – do you agree?

PIRMOJI JUNGTINĖ BALBIERIŠKIO KRAŠTO OLIMPIADA

~ Romualdas Kašuba ~ 11 Comments

1. Žodyje galima skirtingas priebalses pakeisti skirtingais, o vienodas priebalses – vienodais nelyginiais skaičiais bei, panašiai, skirtingas balses galima pakeisti skirtingais, o vienodas – vienodais lyginiais skaičiais ir atitinkamai atvirkščiai. Ar taip darant kada nors pavyktų žodį MAMA paversti žodžiu TĖTĖ, o žodį BALBIERIŠKIS paversti žodžiu GELGAUDIŠKIS?
Atsakymą, kaip tai priimta tose platumose, suprantamai pagrįskite.

2. Tame pačiame žodyje BALBIERIŠKIS pakeitus skirtingas priebalses skirtingais, o vienodas priebalses – vienodais nelyginiais skaitmenimis bei, panašiai, skirtingas balses pakeitus skirtingais, o vienodas balses – vienodais lyginiais skaitmenimis gauname 12-ženklį skaičių.
Kokį patį didžiausią ir kokį patį mažiausią 12-ženklį skaičių galima gauti taip keičiant?

3. Sakoma, kad visi mūsų galvos plaukai yra suskaičiuoti. Prienų krašto Galvai p. Alvydui iš Dangiškos kanceliarijos pavyko gauti žinių, kad per patį Naujųjų 2008-tųjų Metų vidurnaktį visi Prienų krašto gyventojai kartu turėjo 1 280 000 401 (vieną milijardą du šimtus aštuoniasdešimt milijonų keturis šimtus ir vieną) plauką. Krašto Galva susidomėjo ir paprašė Jiezno jaunuomenės nustatyti, ar tas Krašto gyventojų plaukų skaičius yra pirminis skaičius, ar ne (jis maloniai priminė, kad skaičius yra pirminis tada, jei jis nepalikdamas liekanos dalijasi tik 1 ir dar pats iš savęs. Tuo atveju, jei skaičius iš dar ko nors dalijasi, tai jis nėra pirminis, tada jis yra sudėtinis skaičius. Jiezniškiai šviesuoliai būgštauja laiku nespėsiantys pateikti tikslų atsakymą su paaiškinimais, ar tas skaičius yra pirminis ar sudėtinis skaičius. Padėkite jautriems jiezniškiams surasti tiesą ir ją paaiškinti.

4. Pakuonio seniūnijos moksluomenė Dvylikių bendruomenės prašymu ieško dviejų kaimyninių (tokių kaip 17 ir 18) sveikųjų skaičių , kurių ir vieno, ir kito skaitmenų suma dalytųsi be liekanos iš 5 (negi tai įmanoma, kad abiejų gretimų skaičių – artimiausių kaimynų,- ir vieno, ir kito – skaitmenų sumos gali nepalikdamos liekanos abi dalytis iš 5?). Pakylėtus Pakuonio mokslo fanus tokia galimybė labai vežtų, nors jie dar turi abejonių .Padėkite jiems, kuo galite.

5. Jau kuris laikas po Išlaužą sklando gandai, kad Punioje rasti tokie keturi iš eilės einantys sveikieji skaičiai kad, sudėjus juos, išeina lygiai 2008, o Prienų gimnazijos sargas žilagalvis Motiejus, skaityti išmokęs dar prie Smetonos, apie tai išgirdęs juokėsi net susiriesdamas. Kodėl juokėsi linksmasis Motiejus – tai ką, su 4 iš eilės einančiais sveikaisiais skaičiais jau ir 2008 niekaip nebesugraibysime?Kaip čia yra iš tikrųjų?

6. Stakliškių moksluomenė jau antra diena dairosi tokio sveiko teigiamo skaičiaus, kuriam užrašyti pakaktų tik trejetų ir septynetų (kiekvienas skaitmuo privalo būti nors sykį panaudotas) ir dar norėtų, kad jis iš tų abiejų skaičių – iš 3 ir iš 7 – dar ir dalytųsi, nepalikdamas liekanos. Pažinodami ištvermingą stakliškėnų būdą mes esame tikri, kad jie nesudės rankų, kol nesuras paties mažiausio iš visų tokių skaičių.
Koks yra pats mažiausias iš tokių skaičių?

7. Veiveriškiai išsirūpino leidimą prie bet kurio sveikojo skaičiaus vis pridėti jo skaitmenų sumą. Jie norėtų pradėti nuo 1 ir gauti 123. Ar tai įmanoma?

8. Tyzenhauzenų dvare yra 4 kalviai, sugebantys kaustyti žirgus. Kartą jie visi 4 gavo užduotį kuo greičiau pakaustyti 5 žirgus. Grafas pažadėjo jiems 10 auksinų, jei jie pakaustys tuos arklius per patį mažiausią įmanomą laiką.Per kiek laiko jie greičiausiai gali atlikti šią kaustybą, jeigu su viena pasaga jie susitvarko per 5 minutes?

9. Baronas Miunchauzenas aiškina didikui Tyzenhauzenui, kad jis kartą, būdamas Mėnulyje, matė ten tokį skaičių, kuris padidėja keturis su puse karto parašius jį atvirkščiai – iš dešinės į kairę. Didikas jam sako, kad Mėnulyje ištisai vaidenasi. Ar tikrai Mėnulyje ištisai vaidenasi?

10. Kartą didikas Tyzenhauzenas baronui Miunchauzenui su neslepiamu pasididžiavimu papasakojo, kad pats protingiausias jų giminės žmogus baronas Ernestas jau prieš 200 metų, žinodamas, kad 5x + 4y dalijasi iš 23, galėdavo tiksliai pasakyti, kokią būtų liekana, jeigu iš 23 padalintume 3x + 7y.
Paaiškinkite, kokią liekaną gaudavo baronas Ernestas?