Author: Romualdas Kašuba

Vieno mokytojo jubiliejinė minklė

~ Romualdas Kašuba ~ 2 Comments

Išėjo Tėvelis išminties,
Išėjo Motinėlė išminties,
Išėjo Tėvelis, išėjo Motinėlė,
Išėjo visi vaikai išminties.

Prisipildė Tėvelis išminties,
Prisipildė Motinėlė išminties,
Prisipildė Tėvelis, prisipildė Motinėlė,
Prisipildys visi vaikai išminties.

Nebėr, kur dėt Tėveliui išminties,
Nebėr, kur dėt Motulei išminties,
Nebėr, kur dėt Tėveliui, nebėr, kur dėt Motulei,
Tuoj nebus, kur dėt ir vaikam išminties.

Tai iš kur toks pilnas Tėvas išminties?
Tai iš kur pilna Motulė išminties?
Iš kur pilnas tas Tėvelis, dar pilnesnė Motinėlė,
Ir iš kur išeis pilni per amžius vaikai išminties?

Minklės įminimo ieškokite pačiame pirmame stulpelyje.
Neleidžiama nei pridėti, nei atimti nė vienos tos stulpelio raidės.

Ant ko laikosi pasaulis?

~ Romualdas Kašuba ~ 2 Comments

Šiandien jau ne daug kas iki galo besupranta, ant ko iš tikrųjų laikosi pasaulis. Esama daugybės, net ir gerokai praprususių žmonių, kurie rimtais veidais tvirtina, kad pasaulis būtinai būsiąs amžinai. O iš tikrųjų ta pasaulio amžinystė atsiremia štai į ką – tik paklausykite!
Paskutinę kiekvieno 100-mečio naktį Centrinėje pasaulio arenoje kvadratu tyliai oriai tvarkingon rikiuotėn stoja pirmoji skaičių šimtinė.
  1    2   3   4    5   6   7    8   9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Jie stovi ir laukia.
Jie žino, kad vidurnakčiui išmušus iš begalybės nepastebimai atsiris kamuolinis skaitmeninis žaibas ir trenks į lygiai 10 iš jų – į kuriuos trenks, nežinia, tik žinia, kad įtrenktieji nieko nematys, nesuvoks, nesupras. Liks dar 90 skaičių, sąmonės nepraradusių. Jeigu tarp tų 90 sąmonės nepraradusių skaičių rasis 10 tokių, kurie sudaro aritmetinę progresiją, tai praradę sąmonę skaičiai iš karto atsigaus ir pasaulis galės ramiai gyventi dar 100 metų. Tačiau jei tokių 10 skaičių, sudarančių aritmetinę progresiją, tarp tų 90-ties sąmonės nepraradusių skaičių neatsirastų, tada jau nebeatsigautų toji 10-tis, o kartu su tuo įvyktų ir pasaulio pabaiga.
Kaip čia yra iš tikrųjų?
Neveidmainiaudami visu rimtumu klauskime to, kas visus labiau jaudina ir veža: ar egzistuos, ar ne mūs pasaulis amžinai?
Kitais žodžiais, mums rūpi, ar iš pirmųjų 100 skaičių bet kaip išbraukus 10 skaičių tarp likusių 90-ties visada rasis 10 tokių, kurie sudaro aritmetinę progresiją.

Mes esame fizikai…

~ Romualdas Kašuba ~ 3 Comments

(Parašyta 2004 metais fizikos studentų prašymu)

Mes esam fizikai, visatos džiaugsmo broliai,
Ir kelias mūs – nuo atomo prie krintančios žvaigždės.
Ir neišaugs be mūs jokie aukšti pastoliai,
Ir diskotekose galingas garsas neskambės!

Varyk pas mus, pas fizikus, brolau, ir pasijusi rojuj
Gal tik savaitę, mėnesį, o gal – kas žino – ir visus 6 metus.
Džiaugsmuos, egzaminuos ar šiaip kokiam rimtam pavojuj
Tu nepamiršk, tu vis kartok
– esu aš fizikas ir
spektras mano toks fantastiškai platus.

11th Lithuanian Mathematics Olympiad for Youngsters

~ Romualdas Kašuba ~ 4 Comments

Grades 5 and 6
Vilnius University, Faculty of Mathematics and Informatics
September the 12th 2009

1. Every year Geppetto gives pocket-money his beloved patient and modest Pinocchio on his birthday. The sum of that support is established according to the unshakable rules and, counting in humble cents, is always equal to the product of the ages of Pinocchio and his noblest patron himself. This year Pinocchio got 7.81 Euro. What amount of money did Pinocchio get in the previous year?

2. On their infrequent leisure time the immortal Bremen four – Donkey, Dog, Cat and Rooster divided the usual chess board into four equal parts and started examining one of these parts containing 16 fields (8 white and 8 black fields, colored in the usual chess order), i.e. a 4 x 4 square.
The zigzag-form path consisting of 4 white fields, one from each row, such that any two neighbouring fields share only a common corner was called by them a Bremen path. The musicians immediately started furious discussions about how many Bremen paths there are in that small 4 x 4 square. Patron of the Bremen city Roland gave evidence that they sat late and couldn‘t come to the common conclusion how many Bremen paths there are in that small 4 x 4 square.
Could you explain in an understandable way to that immortal Bremen four how many Bremen paths could be detected in that (rather small) 4 x 4 square?

Town musicians of Bremen
3. Nowadays only very few persons remember that before gaining the unbelievable popularity the members of the immortal Bremen four earned their bread working as unqualified city guards. The patron of the City Roland witnessed strongly that it was also their duty every night before the day-break to creep along the wall around the whole Bremen city checking whether everything is still running well. The very same Roland claims that he established for sure that the Donkey made twice as many walks around the city as the Cat did, three times as many as the Dog did and even four times as many as the Rooster did. Altogether they all made exactly 400 walks around the Bremen city. How many walks around the Bremen city did the Donkey make?

4. Yesterday the Cup of Nations (Bremenland soccer tournament) in which each team played exactly once against every other team came to the end. The matches were played according to the rules which generated a healthy hazard: a team was awarded even 3 points for a win, 1 point for a tie and no points for a loss. After all matches were over it was mentioned that all teams together were rewarded the total of 21 points. The troubadour of the Cup maestro Rooster spent the whole 3 days in the deepest confidence that knowing only what was told right now it is still impossible neither to conclude
(A) how many teams participated in that Cup of Nations,
nor to establish
(B) how many points each team was awarded (according to its final classification).
Was the troubadour of that Cup Rooster right in his belief?
(A) How many teams participated in that Cup of Nations?
(B) How many points was each team awarded?

5. On another honorable occasion the members of the immortal four during the camping near their beloved city Bremen saw 7 regions formed by 3 overlapping circles. They came to an idea to use 7 numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 to rule these seven regions – one number for each region. They decided at once that the central region – the one belonging to all the 3 circles – should always be ruled by number 6 as the number having most divisors. They also expected that it is possible to nominate the numbers for ruling the regions in a democratic way, that is in such a way that in any of these 3 circles the sum all integers ruling regions contained in that circle is the same for each circle (and equals some number T).
All this would have been very nice and challenging but they could in no way find an example which would demonstrate them that such democratic ruling of regions is possible to establish. Help them in:
(A) demonstrating that such democratic ruling of regions is possible to establish; present them the corresponding example and, if necessary, also tell them even the corresponding value of T, the same for all 3 circles;
(B) finding all possible values of that sum T, equal for all three circles – each one, naturally, with its own example of democratic ruling.

Grades 7 and 8
Vilnius University, Faculty of Mathematics and Informatics
September the 12th 2009

1. The immortal Bremen four – Donkey, Dog, Cat and Rooster – after they became the absolute classics of the hard beat music could no more perform all together. On very rare occasions they performed being three, and that was taken as a sign of an absolute respect, and such performances and only these were called the Bremen ecstasies. When in recent summer in Bremen the World Session of Beautiful Young Math Minds took place then, to honor it, the immortal four had given several exceptional Bremen ecstasies. The soul of the city Roland who naturally took part in all these Bremen ecstasies certified that maestro Rooster participated more times than any other of them, that is, 8 times, and maestro Donkey participated less than any other of them – 5 times. The soul of the city Roland without saying any word made them feel that any clever mind which is able to concentrate at least a bit could really understand how many Bremen ecstasies were provided by the members of immortal Bremen four.
Are you also able to explain how many Bremen ecstasies were given in Bremen at the World Session of the Beautiful Young Math Minds by the members of that immortal Bremen four?
Bremen Roland

2. To the top league of soccer in Bremenland only 5 teams are allowed. In the recent tournament each team played exactly once against each of the other four teams. Each team received 3 points for a match it won, one point for a match it drew and no points for a match it lost. At the end of the competition the points were: Prairie’s Lions 10 points, Desert’s Bison 9 points, Alpine Grandsons 4 points, Peaceful Bulldogs 3 points, and Windmills 1 point.
The voice of the league maestro Rooster claimed that even knowing only as much as that it is already possible to make many fundamental insights and not only
(A) to state precisely how many matches resulted in a draw,
but also even to state
(B) what were the results of Alpine Grandsons’ matches against the other four teams.
We believe for sure that you having some time are also able to understand it and explain it in a proper way.

3. On silent winter nights when the last lonely passengers disappear from the streets the eternal patron of the Bremen city Roland is climbing down from his monument and together with maestro Cat are arranging, as they call it, the silent Bremen-17 game. For it 7 cards with numbers 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 are necessary (with every number written on exactly one card). Roland and maestro Cat are taking in turn one card each; Roland usually starts first. The player who is able using his cards to present a number divisible by 17 earlier than his opponent is declared to be a winner. On the news portal ihaha.com there were furious quarrels concerning the fact whether any of them is able to take the cards in such a way that he is always able to win independently what his partner undertakes.
There appeared one wiseacre whose name was Rex who kept claiming that
(A) if any of them is really able to win independently of what his partner is ever able to undertake then that person is the person who starts first.
Is the wiseacre Rex right? Explain your answer.
(B) So how is that: are indeed any of them able to win independently of what his partner is ever able to undertake?
Explain your answer.

4. Maestro Cat eagerly intends to solve the cross-number. The solution to each clue of this cross-number is a two-digit number. Maestro Cat remembers too well that none of these numbers begins with zero. He is ready to complete the cross-number, stating the order in which he solved the clues and explaining why there is only one possibility at each stage. Can you help him?
 
Clues horizontally: 1. Multiple of 3. 3. Three times a prime
Clues vertically: 1. Multiple of 25. 2. Square number.

5. Starting with an equilateral triangle ABC with length of side 2 meters, the hidden geometer maestro Rex on the three its sides AB, BC and CA constructed three outward-pointed squares ABPQ, BCTU, CARS. Maestro Donkey who just arrived was kept repeating some irresponsible statements that it is not maestro Rex who could today establish the area of the hexagon PQRSTU. Maestro Rooster who heard this tried eagerly to help Rex with that area and acting together they both in two hours were able to get the right answer.
What is the area of the hexagon PQRSTU?

Impresijos

~ Romualdas Kašuba ~ Leave a comment

I
И тень Ее, чудна как искрометный дар Небес,
Взошла над безднами души и воссияла…
И шевельнулось все кругом, и тихо так,
Незримо незаметно зазвучало.

II
И память о Тебе светла как дуновнье,
И кружатся в молитве Небо и земля.

III
Лучом парящим страждущего Неба
Останься в сердце, светлой радости полна!

Vienas įvairiausių kalbų sukėlęs Toliejos epizodas, vykęs Naujininkų Klebonui akyse, Eglei Dobilaitei dalyvaujant

~ Romualdas Kašuba ~ 5 Comments

Kalbų po to būta pačių įvairiausių, svarstymų, pamąstymų ir vertinimų – irgi. Ne mūsų reikalas apskritai kalbėti apie tą romantišką istoriją ar rašyti jos dalyviams pažymius, juolab kad žemiškuose reikaluose retai sutinkame šimtaprocentinių teisuolių. Pretekstas mums įsikišti būtų nebent tai, kad tos istorijos šerdį sudaro vienas visai neblogas aritmetikos uždavinys.

Galutinę nuomonę ir apie tą uždavinį, ir apie tą istoriją paliekame Jūsų protams ir širdims. O mes tik pakartotume – beveik tiksliai – ir net kartu su neišgalvotu klasiku: “Jei Tau koks reiškinys patinka, Tu jį iš karto pavaizduok, Su mūza savo dar palygink ir į redakciją paduok” Na, kur jau čia mums, paprastiems žmonėms “iki mūzų”, nors gražių panelių aplinkui tikrai nestinga. Sutiksite jų ir šioje istorijoje.

Dauguma šaltinių dar mini toje istorijoje dalyvavus tikrus neišgalvotus personažus, arba Liną Pugžlį, Karolį Vencevičių ir vieną iš daugybės stovykloje buvusių Žilinskų. Ne visų jų vaidmuo buvo vienodai idealus, gal ir jiems kada būdavo nelengva, tačiau visi pasakotojai juos apskritai iškelia kiek aukščiau negu kitus – na, gal jiems tiesiog geriau susiklostė aplinkybės. Sakytinė tradicija prie tų pačių nepriekaištingiausių paprastai ir priskiria vieną kurį iš tų Žilinskų. Nenutylėsime ir to, kad toji istorija – ir dar su konkrečiais vardais – buvo iškilusi ir tą atmintiną paskutinį sekmadienį, tą dar dorai nepraaušusį ankstyvą rytmetį, kai buvo net neaišku, ar saulė jau buvo patekėjusi, ar dar tik betekanti. Štai ta istorija. Dar kartą pabrėžiame, kad už žmogiškąją tiesą jokios galutinės atsakomybės neprisiimame, juolab kad jau vien tik aritmetinės tiesos paieškų reikalai paprastai vargu ar kada bepasirodys.

Mokytoja Eglė Dobilaitė ir trys jos aritmetiniai asistentai Kartą kažkur toli toli, o gal net ir visai čia pat buvo nuostabi aritmetikos mokytoja Eglė Dobilaitė. Ir nors ji per pamokas kalbėdavo labai tyliai, tačiau garsas apie jos pedagoginį talentą buvo pasklidęs per visą kraštą, buvo persiritęs per Toliejas ir Dubysas giliausias – iki pat Vilniaus aukštumų. Ir visi sakydavo, kad mokytoja Eglė ir pušies kankorėžį išmokytų be klaidų skaičius sudėti. Likimas pasitvarkė taip, kad toji lemtingoji aritmetikos pamoka vyko kaip kartas toje klasėje, kur mokėsi Pugžlys, Vencevičius ir, žinoma, vienas iš Žilinskų. Mokytoja Eglė, dar nežinodama, į ką viskas išvirs, užrašė lentoje 3 keturženklius skaičius ir pakvietė Pugžlį juos sudėti:

suma_2

Kokia turėjo būti jos nuostaba, kai Pugžlys sudėjęs kažkodėl gavo ne tiek, kiek mokytoja žinojo turėsiant gautis – toji suma turėjo būti keturženklis skaičius, o jis apačioje parašė

suma_1

o tai jau niekaip ne 4-ženklis skaičius.

Dar tebesistebėdama tuo, kas čia darosi, ji prisiminė, kad Pugžlys serga labai paplitusiu tikrovės stiprinimu, arba negalavimu, kuris pasireiškia tuo, kad visur, kur jam pasitaikydavo 2, jis galvodavo, kad tai 3 – ir ne kitaip! Tokia tad buvo jo bėda, o šiaip visa jis darydavo be priekaištų – na, kaip Žilinskas – be klaidų. Norėdama šventais pedagoginiais tikslais išnaudoti augančią aritmetinę įtampą mokytoja Eglė tai pačiai tų 3-jų keturženklių skaičių sumai skaičiuoti pakvietė Vencevičių, nes ji atsiminė, kad ir jis turi vienintelę, nors ir kitokią, gal net rimtesnę silpną vietą – kur visi mato 4, ten jam, nors tu kuolu per galvą, tvirtai regisi 7 – o toliau kitką skaičiuoja taip, kad geriau nebūna. Nenuostabu, kad Vencevičius dėliodamas tuos pačius tris 4-ženklius skaičius gavo dar daugiau, nes jis jau užrašė, kad toji suma yra

suma_3

Mokytoja Eglė iš bet ko mokėdavo padaryti uždavinį. O jau iš tokių dviejų nekasdienių dalykų ji kaip mat supynė uždavinį – ir labai gražų. Mes tikrai manome, kad Eglė ir iš kirvio sriubą išpirktų. Štai ir dabar ji tarė tam vienam iš tų Žilinskų:

– Štai tu, kuris viską matei ir girdėjai, prašau sudėk teisingai tuos skaičius, nežiūrėdamas į juos. Tu toks gabus, kad Tau net nereikia žinoti, kokius tris skaičius Tu čia dėlioji.

Pamąstė Žilinskas valandėlę menką, iš nuostabos net kaktą pasikrapštė ir, žinoma, užrašė teisingą atsakymą. Jau esame sakę, kad teisingas atsakymas, mokytojos Eglės žodžiais tariant, turėtų būti 4-ženklis skaičius. Ir – kartojame tai su pasigėrėjimu, Žilinskas teisingai užrašė tą 4-ženklį skaičių, kuris yra tų trijų 4-ženklių skaičių suma. O tiems, kurie pradeda skaityti uždavinius nuo pabaigos – o tai yra gudru – kursyvu pakartosime uždavinio sąlygą be jokių vardų ir kitų istorinių subtilybių:

Mokytoja liepė sudėti tris keturženklius skaičius:

suma_2

Pirmasis dėjikas, kuris dėliodamas visus tų trijų dėmenų dvejetus pakeitė trejetais, o kitką atliko taip, kad teisingiau nebūna, sudėjęs gavo 10985. Antrasis dėjikas, kuris irgi viską daro gerai, tik dėliodamas visuose trijuose pradiniuose dėmenyse (bet ne atsakyme) esančius ketvertus pakeitė septynetais, sudėjęs gavo 11667. Koks skaičius turėjo gautis iš tikrųjų?

Arba dar kartą – kokį skaičių užrašė Žilinskas? (Jis tikrai jį užrašė teisingai, nes mokytoja Eglė šypsojosi taip švelniai ir džiugiai, kaip tesišypso mokytojai tik tada, kai mokiniai rašo teisingus atsakymus.)

Ir aš ten buvau, kavą arbatą gėriau ir dar Jums apie tai papasakoti suspėjau.

Apie Naujamiesčio Kleboną ir Telšių mergaitę Eglę Dobilaitę, arba kelios paprastos mintys apie paprastus ir nepaprastus įvykius

~ Romualdas Kašuba ~ 1 Comment

Rugpjūčio mėnesio pradžioje Toliejoje, netoli nuo Molėtų, visą savaitę – nuo sekmadienio iki sekmadienio vyko ir labai gražiai pralėkė Tarptautinė “Kengūros” ir “Bebro” konkursų nugalėtojų vasaros stovykla (toliau abu rašysime be kabučių – prie jų esame jau pripratę, juolab, kad Bebras ir apskritai lietuviškos kilmės, nes jo Mama yra mūsiškė profesorė Valentina Dagienė). Abu konkursai yra tarptautiniai – ir Kengūra, ir Bebras, tačiau svečių iš užsienio susilaukė tik Kengūra. Kiek pamenu, nėra dar buvę, kad “Kengūros” stovykloje nebūtume matę mūsų kaimynų ir brolių lenkų. Deja, šiais metais nebuvo kitų didelių mūsų draugų – kaimynų iš Baltarusijos. Šioje vietoje minėtina, kad ir kasmetinis parengiamasis tarptautinis Kengūros organizatorių susitikimas, na, tas, kuris atrenka eilinių metų uždavinius, šį rudenį, jau greit, nes už kelių mėnesių, spalio pabaigoje vyks Baltarusijoje. Šių metų Toliejos stovykla vyko tik viena pamaina, o ne dviem pamainomis, kaip kad buvo pernai, ir juose dalyvavo Kengūros kadetininkai – 7-8 klasių mokiniai.
   Ir Kengūra, ir Bebras turėjo iš esmės vieną ir tą pačią dienotvarkę – tik valgė dviem pamainomis, nes kitaip tiesiog nebūtų sutilpę į valgyklą.

Pačiai stovyklai vadovavo mūsų nuostabioji ramioji Regina Rudalevičienė, todėl nepatyrusiai akiai galėjo pasirodyti, kad stovyklos gyvenimas tvarkosi pats. Už matematiką jau ne pirmus metus buvo atsakingas šių pastabų autorius, ne pirmus metus kartu su manimi dirbo mano bendradarbis Vilniaus Universiteto dėstytojas ir doktorantas Aivaras Novikas ir Kembridžo universiteto studentas Aistis Atminas. Be informatikos dėstytojų stovykloje paskaitą skaitė ir entuziastingai sutiktas buvo vadovėlių autorius Valdas Vanagas.
   Dirbant keliems kolektyvams iš karto ne vienam galėjo pasirodyti, kad užsiėmimų yra daugokai – ir ne vienam, kaip apklausa parodė, taip ir pasirodė, nors bendras stovyklautojų lygis buvo kaip retai kada koks geras, nors pasitaikė ir bijančių vasarą plušėti nenuleidžiant rankų – kaip rugius kertant.
   Prie to nejučia kilstelėjusio užsiėmimų intensyvumo gerokai prisidėjo ir mūsų svečiai iš Lenkijos, kurių lygis šiais metais buvo dar geresnis, negu įprasta – nors jau yra įprasta, kad svečių lygis yra geras.

Visa tai primena šmaikštų posmelį apie tai, kad “lengva būti maestro, turint puikų orkestrą, bet turėt puikų orkestrą _____(pasirinkite tinkamą žodį) tegali geras maestro.” (Man, kaip vietiniam Kašubai, dar visai patiko, kad ir kitur tų Kašubų jau randasi – štai kaimynai vieną tokį labai gerą, vardu Karolis, Varšuvoj surado ir į Tolieją pasiėmė.)

Vyko įprastiniai stovyklų renginiai – įvairios sportinės varžybos, įskaitant ir šachmatų bei šaškių grumtynes. Kiekvieną dieną buvo skelbiamas tos dienos uždavinys, buvo ir vienas uždavinys visoms dienoms. Uždaviniai buvo sprendžiami ir per orientacines varžytuves. Nebuvo sprendžiami uždaviniai tik keliaujant į netoliese esančią Molėtų observatoriją ir per jau, regis, trečią kartą vykusias poetų varžytuves. Bet ten buvo kiti vargai – ten reikėjo rašyti ketureilius. Juos ryžosi rašyti arba, tiksliau pasakius, spėjo užsirašyti rašyti 13 žmonių, tarp kurių nepritrūko ir mūsų minėtųjų antraštės didvyrių – Mato Klebono iš Naujininkų ir Telšių “Ateities” mergaitės Eglės Dobilaitės.

Paskutinę dieną vėl vyko gal pats netikėčiausias renginys – paryčių paskaita, kurioje kasmet dalyvauja vis daugiau dalyvių – šiais metais jų susirinko 46 – tai tikrai daugiau negu pusė visų dalyvių. Nepamiršk, galimas skaitytojau, kad išvakarėse būna baigiamasis vakaras ir ilgai dega atsisveikinimo laužas, todėl paryčiais ateiti į baigiamąją paskaitą nėra labai lengva – reikia, kad laužas jau būtų užgesęs. Tiesa, teoriškai žiūrint, laužui užgesus galima imti ir nebeiti miegoti, bet tada užmigis per užsiėmimą yra garantuotas. O tokių atvejų per šių metų paskaitą beveik nebuvo – na tik vienas – ir neaišku, ar ir tas neapsimestinis – kaip kad, matyt, ir vaizdavimas, kad paskaitų per daug.

(O toji paryčių paskaita atsirado iš juokelių – užteko man kažkada paskutinę naktį, giliai jau sutemus, porimčiu veidu į klausimą: “Kada kita paskaita?” atsakyti “Septintą ryto”. Ir septintą ryto prisistatė septyni vyrai – tais metais neradom vietos, nes viskas buvo užrakinta. Bet jau nuo kitų metų patalpos jau nebebūdavo užrakintos. Ir nuo tada tas baigiamasis ankstyvojo paskutiniojo ryto užsiėmimas jau visada būdavo.) 🙂

Na bet čia ne indukcija, čia viskas daug paprasčiau. Nors pats žodis tikrai rimtas – kaip rimta buvo vienu mirksniu it Kengūra per mūsų vasarą prašuoliavusi stovykla Toliejoje.
(O jeigu jau kalbėti visai atvirai, tai aš žinau daug dalykų, be kurių stovykla būtų daug blogesnė 🙂 , bet visai mažai tokių, su kuriais ji būtų pastebimai geresnė . 😀

Iš kuklumo, kurio visada kažkiek reikia, pabrėžčiau, kad ne vien tik apie save aš dabar čia kalbėjau ir ne vien apie svečią iš Varšuvos – arba šaunųjį Karolį Kašubą, šaunų kaip ir visi kiti likę – paminėti ir kol kas dar bevardžiai stovyklos vasarotojai 🙂 .)